기술사 시험 공부 - 재료의 파손이론 (파손의 법칙)

 

기계부품에 인장력만 작용한다면 강도 검토는 비교적 간단하다. 힘을 단면적으로 나누어 응력을 구하고, 이를 재료의 강도와 비교하면 된다. 하지만 실제 기계부품에는 여러 하중이 동시에 작용한다. 회전축에는 굽힘과 비틀림이, 브래킷에는 굽힘과 전단이 함께 발생한다. 이처럼 여러 응력이 동시에 작용할 때, 재료가 견딜 수 있는지를 판단하는 기준이 ‘파손이론’이다. 단축시험에서 얻은 재료의 강도를 복잡한 응력 상태에 적용하는 방법이라고 이해하면 쉽다.

 

1. 파손과 항복은 어떻게 다른가?

 

파손이라고 하면 부품이 부러지거나 끊어지는 모습을 떠올리기 쉽다. 그러나 부품은 완전히 부러지지 않아도 제 기능을 잃을 수 있다. 예를 들어 하중을 제거한 뒤에도 축이 휘어 있다면, 파단되지 않았더라도 정상적으로 사용하기 어렵다. 따라서 파손이론을 공부할 때에는 항복과 파괴를 구분해야 한다.

구분	의미	주요 검토 대상
항복	소성변형이 시작되는 상태	영구변형을 제한해야 하는 연성재료
파괴	균열이나 파단으로 재료가 손상되는 상태	취성재료의 강도 평가 등

 

일반적인 연성금속의 정적 설계에서는 항복강도를 기준으로 검토하는 경우가 많다. 취성재료는 인장과 압축의 파괴강도를 구분하여 살펴야 한다. 재료마다 거동이 다르므로, 모든 재료에 똑같은 파손이론을 적용할 수는 없다. 

2. 수식에 사용하는 기호

 

세 주응력은 큰 값부터 다음과 같이 표시한다.

σ₁ ≥ σ₂ ≥ σ₃

주응력은 전단응력이 0인 면에서의 수직응력이다.

기호	의미
σ₁	최대주응력
σ₂	중간주응력
σ₃	최소주응력
σ ᵧ	단축 인장 항복강도
E	탄성계수
ν	푸아송비
ε₁, ε₂, ε₃	각 방향의 주변형률

인장응력은 양수(+), 압축응력은 음수(−)로 표시한다. 응력과 강도를 비교할 때에는 같은 단위를 사용해야 한다.

 

3. 재료의 파손이론

 

기계부품에 단순응력이 작용할 때에는 실험에서 얻어지는 응력-변형률 선도로부터 탄성한도, 항복점, 극한강도 등을 알 수 있으므로 그 설계는 쉽게 이루어진다. 그러나 일반적으로 기계부품은 조합응력의 상태로 사용되는 수가 많다. 이때의 파손조건을 제시하는 것이 파손의 법칙이며, 응력, 변형률 또는 에너지의 조건식으로 표시된다. 이 글은 정적 하중에 대한 기본 이론을 다룬다. 변형률과 에너지의 관계식에는 등방성 선형탄성 가정을 사용한다. 정하중, 응력분포가 균일한 경우에 대하여 많은 학설이 제출되어 있으며, 다음은 설계에 흔히 쓰이는 주요학설이다.

1) 최대주응력설(maximum principal stress theory) (Rankine의 설) — 주응력을 강도와 비교한다

최대주응력설은 주응력이 재료의 한계강도에 도달하면 파손이 발생한다고 보는 이론이다. 랭킨설(Rankine theory)이라고도 한다.

인장과 압축을 각각 확인한다.

① 인장 파손 조건

σ₁ ≥ 인장강도

② 압축 파손 조건

σ₃ ≤ −압축강도

여기서 압축강도는 양수로 표시한 크기이다. 압축응력은 음수이므로 식에 마이너스 부호를 붙인다.

쉽게 말하면, 인장 측에서는 “당기는 응력이 인장강도를 넘는가”, 압축 측에서는 “누르는 응력의 크기가 압축강도를 넘는가”를 확인하는 것이다.

이 이론은 취성재료의 파괴를 이해하는 기본적인 기준이다. 다만 주응력 사이의 상호작용을 충분히 반영하지 못하므로, 인장과 압축이 함께 작용하는 경우 등에서는 다른 파괴기준의 적합성도 검토해야 한다.

기억할 점: 주응력과 인장·압축강도를 각각 비교한다.

 

이 학설은 취성재료의 분리파손에 적용된다.

지금 취성재료로 만든 축이 굽힘모멘트 M과 비틀림 모멘트 T를 동시에 받을 때에 Rankine의 식

에 의하여 상당 굽힘 모멘트 Me를 구하고, 이 Me로 부터 σ₁ 을 산출하면 된다.

 

2) 최대주변형률설 (maximum principal strain theory) (St. Venant의 설) — 변형률을 한계값과 비교한다

최대주변형률설은 주변형률이 단축시험에서 얻은 한계 변형률에 도달하면 파손이 발생한다고 보는 이론이다. 생브낭 설(Saint-Venant theory)이라고도 한다.

각 방향의 주변형률은 다음과 같다.

ε₁ = [σ₁ − ν × (σ₂ + σ₃)] ÷ E

ε₂ = [σ₂ − ν × (σ₃ + σ₁)] ÷ E

ε₃ = [σ₃ − ν × (σ₁ + σ₂)] ÷ E

첫 번째 식에서 주목할 부분은 ν × (σ₂ + σ₃)이다.

1방향의 변형은 σ₁만으로 결정되지 않는다. 다른 방향의 응력도 푸아송 효과를 통해 영향을 준다. 따라서 최대주응력설과 최대주변형률설은 서로 다른 결과를 낼 수 있다. 인장·압축의 한계 변형률이 대칭이고, 단축 항복변형률을 기준으로 삼는 경우에는 다음과 같이 판단한다.

한계 변형률 = 항복강도 ÷ 탄성계수 = σ ᵧ ÷ E

주변형률의 절댓값 중 가장 큰 값 ≥ 한계 변형률 → 항복 조건 도달

‘절댓값’은 양수·음수의 부호를 제외한 크기를 의미한다.

이 이론은 응력과 변형률의 차이를 이해하는 데 의미가 있다. 다만 일반적인 연성금속의 항복 평가에서는 트레스카설이나 폰 미세스설이 더 널리 활용된다.

기억할 점: 다른 방향의 응력도 변형률에 영향을 준다.

 

3) 최대전단응력설 (maximum shearing stress theory) — 최대전단응력으로 항복을 판단한다

최대전단응력설은 최대전단응력이 단축 인장시험의 항복 시 값에 도달하면 항복한다고 보는 이론이다. 트레스카설(Tresca theory)이라고도 한다.

최대전단응력은 최대주응력과 최소주응력의 차이를 2로 나눈 값이다.

최대전단응력 = (σ₁ − σ₃) ÷ 2

단축 인장시험에서 항복할 때의 주응력은 각각 σᵧ, 0, 0이다. 따라서 이때의 최대전단응력은 항복강도의 절반이 된다.

항복 조건: 최대전단응력 ≥ σ ᵧ ÷ 2

양변에 2를 곱하면 같은 조건을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

σ₁ − σ₃ ≥ σ ᵧ

여기서 σ₁ − σ₃를 트레스카 등가응력이라고 한다.

트레스카 등가응력 = σ₁ − σ₃

항복 조건: 트레스카 등가응력 ≥ 항복강도

최대전단응력과 트레스카 등가응력은 두 배 차이가 나므로 비교 대상을 혼동하지 않아야 한다.

계산한 값	비교할 값
최대전단응력	항복강도의 절반
트레스카 등가응력	항복강도

트레스카설은 일반적인 연성금속의 항복을 평가하는 대표적인 기준이다.

기억할 점: 최대주응력과 최소주응력의 차이가 핵심이다.

 

지금 연성재료로 만든 축이 굽힘모멘트 M과 비틀림모멘트 T를 동시에 받을 때 Guest의 식

에 의하여 상당 비틀림모멘트 Te를 구하고, 이 Te로부터 τ ₁ 을 산출하면 된다.

 

4) 전단변형에너지설 (maximum distorsion energy theory) (Huber, Mises, Nadai의 설) — 형상을 바꾸는 에너지로 판단한다

전단변형에너지설은 형상변형에너지설 또는 폰 미세스설(von Mises theory)이라고 한다.

재료의 변형은 체적이 변하는 부분과 형상이 변하는 부분으로 나누어 생각할 수 있다. 이 이론은 그중 형상 변화에 관련된 에너지가 단축 인장시험의 항복 시 값에 도달하면 항복한다고 본다.

이를 응력으로 환산한 값이 폰 미세스 등가응력이다.

폰 미세스 등가응력 기술사 시험 공부 - 폰 미세스 응력 (Von Mises Stress)

항복 여부는 다음과 같이 판단한다.

폰 미세스 등가응력 ≥ 항복강도 → 항복 조건 도달

폰 미세스 응력은 어느 한 방향에 실제로 작용하는 수직응력이 아니다. 복잡한 응력 상태를 항복강도와 비교할 수 있도록 하나의 값으로 환산한 것이다.

일반적인 등방성 연성금속의 항복 평가와 유한요소해석에서 널리 사용한다.

기억할 점: 폰 미세스 등가응력을 항복강도와 비교한다.

성재료의 미끄럼파손에 가장 가깝게 일치한다. 실제로는 식이 약간 복잡하므로 이설에 가까운 최대전단응력설이 사용되며 양학설간의 차는 최대 15%정도이다.

 

4. 네 가지 이론을 한눈에 비교하기

이론	무엇을 기준으로 판단하는가?	핵심
최대주응력설	주응력	인장·압축강도와 비교
최대주변형률설	주변형률	푸아송 효과 반영
최대전단응력설	최대전단응력	최대·최소 주응력의 차이
전단변형에너지설	형상변형에너지	폰 미세스 등가응력 사용

암기할 때에는 먼저 “응력 → 변형률 → 전단응력 → 형상변형에너지”라는 판단 기준의 차이를 구분하는 것이 좋다.

그다음 각 기준에 해당하는 수식을 연결하면 이해하기 쉽다.

 

보충: 총변형에너지설은 별개의 이론이다

총변형에너지설은 체적 변화와 형상 변화에 의한 에너지를 모두 포함한다. 형상 변화에 관련된 에너지만 사용하는 전단변형에너지설과 구분해야 한다.

구분	고려하는 에너지
총변형에너지설	체적 변화 + 형상 변화
전단변형에너지설	형상 변화

교재나 문제에 따라 총변형에너지설을 포함하여 분류하기도 한다. 시험에서 이론의 종류를 지정했다면 그 요구에 맞춰 답안을 구성한다.

 

 

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※ 계산 예제 — 트레스카와 폰 미세스 비교

어떤 연성금속 부품의 한 지점에서 다음과 같은 응력이 발생했다고 가정한다.

항목	값
최대주응력 σ₁	100 MPa
중간주응력 σ₂	0 MPa
최소주응력 σ₃	−50 MPa
항복강도 σ ᵧ	250 MPa

 

① 트레스카 등가응력

트레스카 등가응력 = σ₁ − σ₃

= 100 − (−50)
= 150 MPa

 

② 폰 미세스 등가응력

먼저 세 주응력의 차이를 구한다.

• σ₁ − σ₂ = 100 − 0 = 100 MPa
• σ₂ − σ₃ = 0 − (−50) = 50 MPa
• σ₃ − σ₁ = −50 − 100 = −150 MPa

이를 식에 대입한다.

 

폰 미세스 등가응력

= √[(100² + 50² + 150²) ÷ 2]
= √[(10,000 + 2,500 + 22,500) ÷ 2]
= √17,500
≈ 132.3 MPa

−150을 제곱하면 양수가 되므로, 계산식에는 150²으로 표시해도 결과가 같다.

 

③ 항복 여부와 안전율

단순 항복 안전율은 다음과 같이 구한다.

 

항복 안전율 = 항복강도 ÷ 등가응력

구분	트레스카 기준	폰 미세스 기준
등가응력	150 MPa	약 132.3 MPa
항복 여부	150 < 250 → 항복 전	132.3 < 250 → 항복 전
항복 안전율	250 ÷ 150 ≈ 1.67	250 ÷ 132.3 ≈ 1.89

같은 응력 상태라도 이론에 따라 등가응력과 안전율이 달라진다. 이 예제에서는 트레스카 기준이 더 보수적인 결과를 준다.

다만 “항복 전”이라는 결과만으로 실제 설계가 적합하다고 단정할 수는 없다. 적용 기준에서 요구하는 안전율, 하중 조합 및 다른 파손 형태까지 확인해야 한다.

 

※ 실제 설계와 해석에 적용하는 순서

실무에서는 공식을 선택하기 전에 재료와 예상되는 파손 형태부터 확인한다.

① 재료와 검토 목적을 확인한다.

연성금속의 항복을 검토하는지, 취성재료의 파괴를 검토하는지 구분한다.

② 관심 지점의 응력 상태를 구한다.

인장, 굽힘, 비틀림, 전단 등 작용 하중을 반영하여 응력 성분이나 주응력을 계산한다.

③ 적절한 파손이론을 적용한다.

재료의 거동과 적용 설계기준에 맞는 이론을 선택하여 강도와 비교한다.

④ 해석값의 신뢰성을 확인한다.

유한요소해석에서는 최대응력이 발생한 위치를 살펴야 한다. 날카로운 모서리, 점하중, 이상화된 구속부에서는 메시를 세분화할수록 응력이 계속 증가하는 특이점이 나타날 수 있다.

이 경우에는 최대값만 비교하지 말고 실제 형상, 하중 전달 방식, 메시 수렴 여부를 함께 확인한다.

⑤ 다른 파손 형태도 검토한다.

정적 항복 조건을 만족하더라도 피로, 좌굴, 균열 성장, 과도한 처짐이 문제가 될 수 있다. 각각에 맞는 별도의 검토가 필요하다.

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※ 기술사 답안은 이렇게 구성하자

“재료의 파손이론 네 가지를 설명하시오”라는 문제에는 다음 순서로 답하면 내용이 명확해진다.

1. 개요: 복합응력 상태를 단축시험의 강도와 비교하기 위한 이론임을 설명한다.
2. 각 이론: 정의와 대표 수식을 제시한다.
3. 적용과 한계: 연성·취성재료의 차이와 이론별 특징을 설명한다.
4. 결론: 재료, 하중 조건, 파손 형태에 맞는 기준을 선택해야 함을 정리한다.

파손이론에서 중요한 것은 공식의 모양보다 무엇을 무엇과 비교하는지 이해하는 것이다.

최대전단응력을 계산했다면 전단 항복한계와 비교하고, 폰 미세스 등가응력을 계산했다면 단축 항복강도와 비교한다. 취성재료의 주응력을 검토한다면 인장과 압축강도를 구분한다.

이 관계를 정확히 이해하면 시험 답안의 논리가 분명해지고, 실제 설계에서도 계산 결과를 올바르게 해석할 수 있다.

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주1) 참고: 단순설명

 

2026.9.28.

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